Étiquette : Référentiel galiléen

Prouver le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) du solide indéformable à partir du PFD du point

Présentation du problème, BAME et PFD du point

Soit un solide S évoluant dans un repère galiléen R_g. Ce solide est considéré comme un ensemble de points matériels M de masse dm(M) chacun subissant une force \vec{f}_{ext}(M). Cette dernière peut être soit une force volumique comme la gravité \rho(M) \vec{g} dV, soit une force surfacique p(M) \vec{n}(M) dS, soit une force linéique p(M) \vec{n}(M) dl, soit une force ponctuelle \vec{F}_{ext}(M).

Elle subit aussi des efforts provenant du reste du solide lié aux pressions à l’intérieur du matériau (ce qu’on appelle plus précisément des contraintes mécaniques). Ces efforts proviennent principalement du voisinage direct du point M à travers des efforts de liaison qui assure la cohésion du solide. Nous noterons la force exercée par un point N du solide \vec{f}_{int}(N \rightarrow M).

Si on isole un point M quelconque pour appliquer le Principe Fondamental de la Dynamique, nous venons de faire le Bilan des Actions Mécaniques Extérieurs (ici, un bilan des forces car il s’agit de mécanique du point). En appliquant le second principe de la dynamique, nous obtenons :

dm(M) \vec{\Gamma}(M\in S / R_g) = \vec{f}_{ext}(M) + \displaystyle \int_{N\in S \setminus \{M\}} \vec{f}_{int}(N \rightarrow M)

Un solide indéformable possède 6 degrés de liberté : 3 en translation et 3 en rotation. Il nous faut donc un minimum de 2 équations vectorielles pour synthétiser la dynamique du solide.

Retrouver le Théorème de la Résultante Dynamique

Toutes les équations de la dynamique trouvées pour l’ensemble des points M peuvent tout simplement être sommées. Comme il s’agit d’un continuum, la somme devient une intégrale continue sur tout le solide :

\displaystyle \int_{M\in S} \vec{\Gamma}(M\in S / R_g) dm(M) = \displaystyle \int_{M\in S} \vec{f}_{ext}(M) + \displaystyle \int_{M\in S} \displaystyle \int_{N\in S \setminus \{M\}} \vec{f}_{int}(N \rightarrow M)

Le dernier terme va être appelé \vec{F}_{int}. En utilisant un produit cartésien, on peut réécrire ce dernier :

\vec{F}_{int} = \displaystyle \int_{(M,N)\in S^2,\, M\neq N} \vec{f}_{int}(N \rightarrow M)

Or, par symétrie de l’intégrale lorsqu’on inverse les points M et N, on peut remarquer que :

\vec{F}_{int} = \dfrac{1}{2} \displaystyle \int_{(M,N)\in S^2,\, M\neq N} \vec{f}_{int}(N \rightarrow M) + \vec{f}_{int}(M \rightarrow N)

C’est le moment d’utiliser la troisième loi de Newton, aussi appelé principe d’action-réaction :

\vec{f}_{int}(N \rightarrow M) = - \vec{f}_{int}(M \rightarrow N)

On en déduit donc :

\vec{F}_{int} = \dfrac{1}{2} \displaystyle \int_{(M,N)\in S^2,\, M\neq N} \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}

On obtient bien alors le Théorème de la résultante dynamique :

\displaystyle \int_{M\in S} \vec{\Gamma}(M\in S / R_g) dm(M) = \displaystyle \int_{M\in S} \vec{f}_{ext}(M)

Le terme de gauche est appelé résultante dynamique et le terme de droite est appelé résultante des actions mécaniques extérieures. CQFD.

Retrouver le Théorème du Moment Dynamique

Si, avant de faire la somme directement des PFD du point, on applique une multiplication vectorielle par \overrightarrow{AM}, on obtient alors la relation suivante

\displaystyle \int_{M\in S} \overrightarrow{AM} \wedge \vec{\Gamma}(M\in S / R_g) dm(M) = \displaystyle \int_{M\in S} \overrightarrow{AM} \wedge \vec{f}_{ext}(M) + \displaystyle \int_{M\in S} \displaystyle \overrightarrow{AM} \wedge \int_{N\in S \setminus \{M\}} \vec{f}_{int}(N \rightarrow M)

Le dernier terme va être appelé \vec{C}_{int}(A). En utilisant un produit cartésien et en introduisant le produit vectoriel dans l’intégrale, on peut réécrire ce dernier comme précédemment :

\vec{C}_{int} (A) = \displaystyle \int_{(M,N)\in S^2,\, M\neq N} \overrightarrow{AM} \wedge \vec{f}_{int}(N \rightarrow M)

Or, par symétrie de l’intégrale lorsqu’on inverse les points M et N, on peut remarquer que :

\vec{C}_{int} (A) = \dfrac{1}{2} \displaystyle \int_{(M,N)\in S^2,\, M\neq N} \overrightarrow{AM} \wedge \vec{f}_{int}(N \rightarrow M) + \overrightarrow{AN} \wedge \vec{f}_{int}(N \rightarrow M)

On réutilise la troisième loi de Newton, aussi appelé principe d’action-réaction :

\vec{f}_{int}(N \rightarrow M) = - \vec{f}_{int}(M \rightarrow N)

On en déduit donc :

\vec{C}_{int} (A) = \dfrac{1}{2} \displaystyle \int_{(M,N)\in S^2,\, M\neq N} \overrightarrow{AM} \wedge \vec{f}_{int}(N \rightarrow M) - \overrightarrow{AN} \wedge \vec{f}_{int}(N \rightarrow M)

En factorisant le produit vectoriel, on obtient :

\vec{C}_{int} (A) = \dfrac{1}{2} \displaystyle \int_{(M,N)\in S^2,\, M\neq N} \left( \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AN} \right) \wedge \vec{f}_{int}(N \rightarrow M)

Puis on utilise la relation de Chasles :

\vec{C}_{int} (A) = \dfrac{1}{2} \displaystyle \int_{(M,N)\in S^2,\, M\neq N} \overrightarrow{NM} \wedge \vec{f}_{int}(N \rightarrow M)

On voit que \vec{C}_{int} (A) est indépendante de A. De plus, la force de cohésion est une force électromagnétique (on parle de liaison covalente, liaison métallique ou liaison de van der Waals). Or, dans le cas de ces efforts de liaison (comme tout ceux connus en mécanique classique en fait), il s’agit d’effort centraux, c’est-à-dire que l’effort exercé par N sur M est colinéaire à \overrightarrow{NM}. On a donc :

\vec{C}_{int} (A) = \dfrac{1}{2} \displaystyle \int_{(M,N)\in S^2,\, M\neq N} \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}

On obtient bien alors le Théorème du moment dynamique :

\displaystyle \int_{M\in S} \overrightarrow{AM} \wedge \vec{\Gamma}(M\in S / R_g) dm(M) = \displaystyle \int_{M\in S} \overrightarrow{AM} \wedge \vec{f}_{ext}(M)

Le terme de gauche est appelé moment dynamique et le terme de droite est appelé moment des actions mécaniques extérieures. CQFD.

Pour aller plus loin

Nous venons de voir comment on pouvait déduire le Principe Fondamental de la Dynamique du solide indéformable à partir du Principe Fondamental de la Dynamique du point. On a utiliser le terme de résultante et de moments, qui correspondent au concept de torseurs. Pour la preuve qu(il s’agit bien de torseurs, vous pouvez regarder ce billet.