Archives du mot-clé Mécanique

Mathématiques pour les Sciences de l’ingénieur : étude balistique et autres véhicules à effort moteur constant

Contexte

Dans de nombreux cas en mécanique, que ce soit pour une analyse balistique d’un projectile ou une analyse dynamique d’un véhicule, on obtient une équation différentielle de ce type-là :

m_{eq} \dfrac{dv}{dt} =  F_{motrice} - F_{sec} - f_{visqueux} v - f_{fluide} v^2

Ici, on suppose que la vitesse v est toujours positive : il faudrait sinon prendre en compte le signe de la vitesse afin de s’assurer que le terme de frottement sec et le terme de frottement fluide soit toujours des termes de frottements, qui s’oppose toujours à une plus grande vitesse en valeur absolue.

Cas simplifié 1 : seulement des frottements secs

Cela revient à cette équation différentielle-ci :

m_{eq} \dfrac{dv}{dt} =  F_{motrice} - F_{sec}

On sépare les variables pour obtenir :

dv =  \dfrac{F_{motrice} - F_{sec}}{m_{eq}} dt

En intégrant, on obtient alors :

\displaystyle \int_{v_0}^{v(t')} dv =   \displaystyle \int_{0}^{t'} \dfrac{F_{motrice} - F_{sec}}{m_{eq}} dt

Soit, pour le résultat :

v(t') - v_0 =    \dfrac{F_{motrice} - F_{sec}}{m_{eq}} t'

Que l’on peut réécrire :

v(t) = v_0 + \dfrac{F_{motrice} - F_{sec}}{m_{eq}} t

Cas 2 : frottement sec + frottement linéaire en vitesse

La fonction différentielle légèrement plus compliquée est la suivante :

m_{eq} \dfrac{dv}{dt} =  F_{motrice} - F_{sec} - f_{visqueux} v

La valeur finale de la vitesse correspond à l’équilibre entre force motrice freinée et frottement visqueux, on obtient la valeur suivante :

v_{\infty} = \dfrac{ F_{motrice} - F_{sec} }{ f_{visqueux} }

On peut alors utiliser cette nouvelle variable pour réécrire l’équation différentielle :

m_{eq} \dfrac{dv}{dt} =  f_{visqueux} ( v_{\infty} - v)

On sépare encore une fois les variables pour obtenir :

\displaystyle \int_{v_0}^{v(t')} \dfrac{ dv }{  v_{\infty} - v  } =  \displaystyle \int_{0}^{t'} \dfrac{ f_{visqueux} }{m_{eq}} dt

On reconnaît une forme qui se rapproche de \ln(u)' = \dfrac{u'}{u}, et on s’en rapproche en multipliant par (-1) des 2 côtés :

\displaystyle \int_{v_0}^{v(t')} \dfrac{ -dv }{  v_{\infty} - v   } =  \displaystyle \int_{0}^{t'}   - \dfrac{ f_{visqueux} }{m_{eq}} dt

En intégrant (et en supposant que v_{\infty} >   v_0 ), on obtient donc :

\ln ( v_{\infty} -  v(t') ) -   \ln (  v_{\infty} -  v_0  )   = -\dfrac{ f_{visqueux} }{m_{eq}} t'

En utilisant les propriété du logarithme ainsi qu’en passant à l’exponentiel, on obtient :

\dfrac{ v_{\infty} -  v(t) }{  v_{\infty} -  v_0 } = \exp \left( - \dfrac{ f_{visqueux} }{m_{eq}} t \right)

Expression que l’on peut réarranger un petit peu :

v(t) =  v_{\infty} - \left( v_{\infty} -  v_0  \right)  \exp \left( - \dfrac{ f_{visqueux} }{m_{eq}} t \right)

Et enfin, on remplace f_{visqueux} par une expression faisant apparaître v_{\infty} :

v(t) =  v_{\infty} - \left( v_{\infty} -  v_0  \right)  \exp \left( -   \dfrac{ F_{motrice} - F_{sec} }{   v_{\infty} m_{eq} } t \right)

Cas 3 : frottement sec + frottement quadratiques en vitesse

La fonction différentielle légèrement modifiée est la suivante :

m_{eq} \dfrac{dv}{dt} =  F_{motrice} - F_{sec} - f_{fluide} v^2

La valeur finale de la vitesse correspond à l’équilibre entre force motrice freinée et frottement fluide, on obtient la valeur suivante :

v_{\infty} = \sqrt{\dfrac{ F_{motrice} - F_{sec} }{ f_{ fluide } } }

On peut alors utiliser cette nouvelle variable pour réécrire l’équation différentielle :

m_{eq} \dfrac{dv}{dt} =  f_{ fluide  } ( v_{\infty}^2 - v^2)

On sépare une nouvelle fois les variables pour obtenir :

\displaystyle \int_{v_0}^{v(t')} \dfrac{ dv }{ v_{\infty}^2 - v^2 } =  \displaystyle \int_{0}^{t'}   \dfrac{ f_{ fluide } }{m_{eq}} dt

On reconnaît une forme qui se rapproche de artanh(u)' =  \dfrac{u'}{1-u^2}, et on s’en rapproche en divisant le numérateur et le dénominateur par v_{\infty}^2 :

\dfrac{1}{ v_{\infty} } \displaystyle \int_{v_0}^{v(t')} \dfrac{  \dfrac{dv}{ v_{\infty} } }{ 1 -  \left(  \dfrac{v}{ v_{\infty} }  \right) ^2   } =  \displaystyle \int_{0}^{t'}   \dfrac{ f_{ fluide } }{m_{eq}} dt

Une fois intégré, on obtient donc :

artanh  \left(  \dfrac{ v(t') }{ v_{\infty} }  \right) -  artanh  \left(  \dfrac{ v_0 }{ v_{\infty} }  \right)  =  \dfrac{ f_{ fluide } }{m_{eq}} v_{\infty} t'

On peut ensuite utiliser une formule de trigonométrie hyperbolique :

tanh(a-b) = \dfrac{tanh\, a - tanh \,  b}{1 - tanh \,  a  \cdot tanh \,  b}

On obtient alors, en passant l’expression précédente à la tangente hyperbolique :

\dfrac{ \dfrac{ v(t) }{ v_{\infty}} -  \dfrac{ v_0 }{ v_{\infty} } }{1 -  \dfrac{ v(t) \cdot  v_0  }{ v_{\infty}^2 } } = tanh \left( \dfrac{ f_{ fluide } }{m_{eq}} v_{\infty} t  \right)

Si on multiplie à gauche et à droite par \left(  1 -  \dfrac{ v(t) \cdot  v_0  }{ v_{\infty}^2 } \right) , on obtient :

\dfrac{ v(t) }{ v_{\infty}} \left( 1 +  \dfrac{ v_0  }{ v_{\infty}}   tanh  \left(  \dfrac{ f_{ fluide } }{m_{eq}} v_{\infty} t    \right)   \right)  = \dfrac{ v_0 }{  v_{\infty}}  + tanh  \left(  \dfrac{ f_{ fluide } }{m_{eq}} v_{\infty} t    \right)

D’où l’on déduit la relation suivante :

v(t) = v_{\infty} \dfrac{  v_0 +  v_{\infty} tanh  \left(   \dfrac{ f_{ fluide } }{m_{eq}} v_{\infty} t    \right) }{  v_{\infty}  +   v_0  tanh  \left( \dfrac{ f_{ fluide } }{m_{eq}} v_{\infty} t  \right)  }

Pour se rapprocher de l’écriture des 2 autres relations, on peut remplacer f_{ fluide } pour faire apparaître v_{\infty} à la place :

v(t) = v_{\infty} \dfrac{  v_0 +  v_{\infty} tanh   \left(   \dfrac{   F_{motrice} - F_{sec}  }{  v_{\infty}  m_{eq} }   t    \right) }{   v_{\infty}  +   v_0  tanh  \left( \dfrac{   F_{motrice} - F_{sec}  }{  v_{\infty}  m_{eq} }  t  \right)  }

Cas particulier d’une vitesse initiale nulle et décalage temporel

Dans le cas particulier où l’on a une condition initiale nulle, cela se simplifie, pour les 3 cas :

v(t) = \dfrac{F_{motrice} - F_{sec}}{m_{eq}} t
v(t) =  v_{\infty} \left(  1-  \exp  \left( -   \dfrac{ F_{motrice} - F_{sec} }{   v_{\infty} m_{eq} } t  \right)   \right)
v(t)  =  v_{\infty}  tanh  \left(  \dfrac{   F_{motrice} - F_{sec}  }{  v_{\infty}  m_{eq} }  t \right)

Observons la vitesse atteinte au bout d’un temps t_0 :

v( t_0 ) = \dfrac{F_{motrice} - F_{sec}}{m_{eq}}  t_0
v( t_0 )  =  v_{\infty} \left(  1-  \exp  \left( -   \dfrac{ F_{motrice} - F_{sec} }{   v_{\infty} m_{eq} }    t_0 \right) \right)
v( t_0 )  =  v_{\infty}  tanh  \left(  \dfrac{   F_{motrice} - F_{sec}  }{  v_{\infty}  m_{eq} }   t_0 \right)

Et la poursuite de la dynamique de la vitesse à partir de ce temps-là s’écrit donc :

v(t + t_0) = \dfrac{F_{motrice} - F_{sec}}{m_{eq}} \left(  t + t_0 \right)
v( t + t_0 ) =  v_{\infty} \left(  1-  \exp  \left( -    \dfrac{   F_{motrice} - F_{sec}  }{  v_{\infty}  m_{eq} }    \left(  t + t_0 \right)  \right) \right)
v( t + t_0 )  =  v_{\infty}  tanh  \left(  \dfrac{   F_{motrice} - F_{sec}  }{  v_{\infty}  m_{eq} }   \left(  t + t_0 \right)  \right)

Or, il est très simple alors de décomposer cette fonction grâce aux propriétés de la distribution de l’addition dans le premier cas, les propriété de l’exponentielle dans le second cas, et la propriété de la tangente hyperbolique pour le dernier cas :

v(t + t_0) =  \dfrac{F_{motrice} - F_{sec}}{m_{eq}} t_0 + \dfrac{F_{motrice} - F_{sec}}{m_{eq}}  t
v( t + t_0 ) =  v_{\infty} \left(  1- \exp  \left( -   \dfrac{ F_{motrice} - F_{sec} }{   v_{\infty} m_{eq} }   t  \right)    \exp  \left( -   \dfrac{ F_{motrice} - F_{sec} }{   v_{\infty} m_{eq} }    t_0 \right)  \right)
v( t + t_0 )  =  v_{\infty} \dfrac{ tanh  \left(  \dfrac{   F_{motrice} - F_{sec}  }{  v_{\infty}  m_{eq} }   t  \right)   +  tanh  \left(  \dfrac{   F_{motrice} - F_{sec}  }{  v_{\infty}  m_{eq} }  t_0  \right)  }{1 +   tanh  \left(  \dfrac{   F_{motrice} - F_{sec}  }{  v_{\infty}  m_{eq} }   t  \right)     tanh  \left(  \dfrac{   F_{motrice} - F_{sec}  }{  v_{\infty}  m_{eq} }  t_0  \right)   }

En réintroduisant la notation v(t_0), on obtient alors les équations suivantes :

v(t + t_0) =  v(t_0)  + \dfrac{F_{motrice} - F_{sec}}{m_{eq}}  t
v( t + t_0 ) =   v_{\infty} \left(  1-  \exp  \left( -   \dfrac{ F_{motrice} - F_{sec} }{   v_{\infty} m_{eq} }   t  \right)   \left(1 - \dfrac{ v(t_0) }{ v_{\infty} } \right)  \right)
v( t + t_0 )  =  v_{\infty} \dfrac{ tanh  \left(  \dfrac{   F_{motrice} - F_{sec}  }{  v_{\infty}  m_{eq} }   t  \right)   +  \dfrac{v(t_0)}{ v_{\infty} }    }{1 +   tanh  \left(   \dfrac{   F_{motrice} - F_{sec}  }{  v_{\infty}  m_{eq} }   t  \right)      \dfrac{v(t_0)}{ v_{\infty} }    }

On peut ainsi se rendre compte que le décalage temporel et la condition initiale non-nulle produisent des équations semblables, et que l’on peut donc passer de l’un à l’autre. Cela est du au fait qu’il s’agit d’une équation différentielle à un seul état : arriver à une certain vitesse par n’importe quel moyen ne changera pas l’évolution de la vitesse à partir de ce point.

Pour simplifier, on ne va considérer que des conditions initiales nulles à l’instant 0 pour la suite.

Différence de comportement entre les 3 cas

Pour illustrer, voici l’allure de la vitesse pendant les 4 premières secondes sur une chute libre de vitesse initiale nulle et de vitesse terminale de 10 m/s :

En ce qui concerne l’allure des courbes de vitesse, les 3 modèles vont bien sûr donner des résultats très similaires si l’on atteind des vitesses faibles par rapport à la vitesse terminale v_{\infty}  . La distinction entre des forces de frottement linéaire ou quadratique en vitesse ne sont pas forcément évidentes à constater à l’oeil nu. De plus, on peut avoir un comportement transitoire d’un modèle à l’autre en fonction du nombre de Reynolds.

Prouver le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) du solide indéformable à partir du PFD du point

Présentation du problème, BAME et PFD du point

Soit un solide S évoluant dans un repère galiléen R_g. Ce solide est considéré comme un ensemble de points matériels M de masse dm(M) chacun subissant une force \vec{f}_{ext}(M). Cette dernière peut être soit une force volumique comme la gravité \rho(M)  \vec{g} dV, soit une force surfacique p(M) \vec{n}(M) dS, soit une force linéique p(M) \vec{n}(M) dl, soit une force ponctuelle \vec{F}_{ext}(M).

Elle subit aussi des efforts provenant du reste du solide lié aux pressions à l’intérieur du matériau (ce qu’on appelle plus précisément des contraintes mécaniques). Ces efforts proviennent principalement du voisinage direct du point M à travers des efforts de liaison qui assure la cohésion du solide. Nous noterons la force exercée par un point N du solide \vec{f}_{int}(N \rightarrow M).

Si on isole un point M quelconque pour appliquer le Principe Fondamental de la Dynamique, nous venons de faire le Bilan des Actions Mécaniques Extérieurs (ici, un bilan des forces car il s’agit de mécanique du point). En appliquant le second principe de la dynamique, nous obtenons :

dm(M)  \vec{\Gamma}(M\in S / R_g) =   \vec{f}_{ext}(M) + \displaystyle \int_{N\in S \setminus \{M\}}  \vec{f}_{int}(N \rightarrow M)

Un solide indéformable possède 6 degrés de liberté : 3 en translation et 3 en rotation. Il nous faut donc un minimum de 2 équations vectorielles pour synthétiser la dynamique du solide.

Retrouver le Théorème de la Résultante Dynamique

Toutes les équations de la dynamique trouvées pour l’ensemble des points M peuvent tout simplement être sommées. Comme il s’agit d’un continuum, la somme devient une intégrale continue sur tout le solide :

\displaystyle \int_{M\in S} \vec{\Gamma}(M\in S / R_g)  dm(M) =  \displaystyle \int_{M\in S} \vec{f}_{ext}(M) +  \displaystyle \int_{M\in S} \displaystyle \int_{N\in S \setminus \{M\}}  \vec{f}_{int}(N \rightarrow  M)

Le dernier terme va être appelé \vec{F}_{int}. En utilisant un produit cartésien, on peut réécrire ce dernier :

\vec{F}_{int} = \displaystyle  \int_{(M,N)\in S^2,\, M\neq N} \vec{f}_{int}(N \rightarrow  M)

Or, par symétrie de l’intégrale lorsqu’on inverse les points M et N, on peut remarquer que :

\vec{F}_{int} = \dfrac{1}{2} \displaystyle  \int_{(M,N)\in S^2,\, M\neq N} \vec{f}_{int}(N \rightarrow  M) +  \vec{f}_{int}(M \rightarrow  N)

C’est le moment d’utiliser la troisième loi de Newton, aussi appelé principe d’action-réaction :

\vec{f}_{int}(N \rightarrow  M) = - \vec{f}_{int}(M \rightarrow  N)

On en déduit donc :

\vec{F}_{int} = \dfrac{1}{2} \displaystyle  \int_{(M,N)\in  S^2,\, M\neq N}  \overrightarrow{0} =   \overrightarrow{0}

On obtient bien alors le Théorème de la résultante dynamique :

\displaystyle \int_{M\in S} \vec{\Gamma}(M\in S / R_g)  dm(M) =   \displaystyle \int_{M\in S} \vec{f}_{ext}(M)

Le terme de gauche est appelé résultante dynamique et le terme de droite est appelé résultante des actions mécaniques extérieures. CQFD.

Retrouver le Théorème du Moment Dynamique

Si, avant de faire la somme directement des PFD du point, on applique une multiplication vectorielle par \overrightarrow{AM}, on obtient alors la relation suivante

\displaystyle \int_{M\in S}  \overrightarrow{AM} \wedge \vec{\Gamma}(M\in S / R_g)  dm(M) =  \displaystyle \int_{M\in S}  \overrightarrow{AM} \wedge \vec{f}_{ext}(M) +  \displaystyle \int_{M\in S} \displaystyle  \overrightarrow{AM} \wedge   \int_{N\in S \setminus \{M\}}   \vec{f}_{int}(N \rightarrow  M)

Le dernier terme va être appelé \vec{C}_{int}(A). En utilisant un produit cartésien et en introduisant le produit vectoriel dans l’intégrale, on peut réécrire ce dernier comme précédemment :

\vec{C}_{int} (A)  = \displaystyle  \int_{(M,N)\in S^2,\, M\neq N} \overrightarrow{AM} \wedge   \vec{f}_{int}(N \rightarrow  M)

Or, par symétrie de l’intégrale lorsqu’on inverse les points M et N, on peut remarquer que :

\vec{C}_{int} (A)  = \dfrac{1}{2} \displaystyle  \int_{(M,N)\in S^2,\, M\neq N}  \overrightarrow{AM} \wedge  \vec{f}_{int}(N \rightarrow  M) +  \overrightarrow{AN} \wedge  \vec{f}_{int}(N \rightarrow  M)

On réutilise la troisième loi de Newton, aussi appelé principe d’action-réaction :

\vec{f}_{int}(N \rightarrow  M) = - \vec{f}_{int}(M \rightarrow  N)

On en déduit donc :

\vec{C}_{int} (A)   = \dfrac{1}{2} \displaystyle  \int_{(M,N)\in  S^2,\, M\neq N}   \overrightarrow{AM} \wedge  \vec{f}_{int}(N \rightarrow  M)  -   \overrightarrow{AN} \wedge  \vec{f}_{int}(N \rightarrow  M)

En factorisant le produit vectoriel, on obtient :

\vec{C}_{int} (A)   = \dfrac{1}{2} \displaystyle  \int_{(M,N)\in   S^2,\, M\neq N}   \left( \overrightarrow{AM}  -   \overrightarrow{AN} \right) \wedge  \vec{f}_{int}(N  \rightarrow  M)

Puis on utilise la relation de Chasles :

\vec{C}_{int} (A)   = \dfrac{1}{2} \displaystyle  \int_{(M,N)\in    S^2,\, M\neq N}    \overrightarrow{NM} \wedge  \vec{f}_{int}(N  \rightarrow  M)

On voit que \vec{C}_{int} (A) est indépendante de A. De plus, la force de cohésion est une force électromagnétique (on parle de liaison covalente, liaison métallique ou liaison de van der Waals). Or, dans le cas de ces efforts de liaison (comme tout ceux connus en mécanique classique en fait), il s’agit d’effort centraux, c’est-à-dire que l’effort exercé par N sur M est colinéaire à \overrightarrow{NM}. On a donc :

\vec{C}_{int} (A)   = \dfrac{1}{2} \displaystyle   \int_{(M,N)\in    S^2,\, M\neq N}    \overrightarrow{0} =  \overrightarrow{0}

On obtient bien alors le Théorème du moment dynamique :

\displaystyle \int_{M\in S}  \overrightarrow{AM} \wedge  \vec{\Gamma}(M\in S / R_g)  dm(M) =  \displaystyle \int_{M\in S}   \overrightarrow{AM} \wedge \vec{f}_{ext}(M)

Le terme de gauche est appelé moment dynamique et le terme de droite est appelé moment des actions mécaniques extérieures. CQFD.

Pour aller plus loin

Nous venons de voir comment on pouvait déduire le Principe Fondamental de la Dynamique du solide indéformable à partir du Principe Fondamental de la Dynamique du point. On a utiliser le terme de résultante et de moments, qui correspondent au concept de torseurs. Pour la preuve qu(il s’agit bien de torseurs, vous pouvez regarder ce billet.

Comoment de torseurs et automoment d’un torseur

Mise en contexte

Tout vient d’une question apparemment anodine du sujet de mines-pont 2015 :

Après une présentation du robot humanoïde Lola, la première question est celle-ci : montrer que \left\lbrace\mathcal{T}_{sol\rightarrow pied} \right\rbrace est un glisseur.
 
Et cette question n’est pas aussi évidente qu’elle n’en a l’air. Mais revenons en à la base.

La notion de torseur

Un torseur \left\lbrace\mathcal{T}\right\rbrace est un champ de vecteurs équiprojectif défini sur un espace affine euclidien de dimension 3. Le torseur \left\lbrace\mathcal{T}\right\rbrace peut être le champ des moments d’une force, des moments cinétiques ou dynamiques d’un solide quelconque, ou bien le champ des vecteurs vitesse d’un solide indéformable.

 
Puisqu’en pratique, nul n’est besoin de connaître la définition d’un torseur pour l’utiliser en virtuose : il suffit en fait de connaître la trinité, puisque la connaissance complète d’un torseur se résume en deux vecteurs et une relation : la valeur de ce torseur en un point, appelé moment et la résultante. Ces deux dernières sont liés par une relation fondamentale, à l’état civil connu sous le nom de formule de Varignon mais souvent appelé par son nom de scène : BABAR :
 
 \overrightarrow{\mathcal{M}}(B) = \overrightarrow{\mathcal{M}}(A) +\overrightarrow{BA} \wedge \overrightarrow{R}
 

Je pense que vous aurez deviné l’origine de ce pseudonyme.

Il est trivial de montrer qu’un champs de vecteurs qui respecte la relation de Varignon est un champ de vecteur équiprojectif. Mais est-il vrai que tous les champs de vecteur équiprojectif respecte la formule de Varignon ? Cela a été montré dans deux billets précédents par deux approches différentes : une algébrique et une géométrique.

La notion du comoment de deux torseurs

Soit 2 torseurs \left\lbrace\mathcal{T}_1\right\rbrace et \left\lbrace\mathcal{T}_2\right\rbrace, le comoment d’un torseur est défini ainsi :

 \left\lbrace\mathcal{T}_1\right\rbrace \otimes \left\lbrace\mathcal{T}_2\right\rbrace = \overrightarrow{\mathcal{R}_1} \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}_2}(A) +  \overrightarrow{\mathcal{R}_2} \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}_1}(A)

Avec \overrightarrow{\mathcal{R}_i} et  \overrightarrow{\mathcal{M}_i}(A) respectivement  la résultante et le moment en A du torseur \left\lbrace\mathcal{T}_i\right\rbrace.

Première étape : prouvons que le comoment est indépendant du choix du point

Pour cela, on va étudier la différence entre les deux calculs. Pour gagner du temps, on va directement factorisé certains éléments :
 
 \left\lbrace\mathcal{T}_1\right\rbrace \otimes \left\lbrace\mathcal{T}_2\right\rbrace (A) - \left\lbrace\mathcal{T}_1\right\rbrace \otimes \left\lbrace\mathcal{T}_2\right\rbrace (B) = \overrightarrow{\mathcal{R}_1} \cdot \left( \overrightarrow{\mathcal{M}_2}(A) - \overrightarrow{\mathcal{M}_2}(B) \right) +  \overrightarrow{\mathcal{R}_2} \cdot \left( \overrightarrow{\mathcal{M}_1}(A) - \overrightarrow{\mathcal{M}_1}(B) \right)
 
Or, par la formule de Varignon, on peut utiliser la relation :
 
\overrightarrow{\mathcal{M}_i}(A) - \overrightarrow{\mathcal{M}_i}(B) = \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}_i} 
 
Et cela nous donne donc pour la différence de nos 2 comoments :
 
 \left\lbrace\mathcal{T}_1\right\rbrace \otimes \left\lbrace\mathcal{T}_2\right\rbrace (A) - \left\lbrace\mathcal{T}_1\right\rbrace \otimes \left\lbrace\mathcal{T}_2\right\rbrace (B) = \overrightarrow{\mathcal{R}_1} \cdot \left(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}_2} \right) +  \overrightarrow{\mathcal{R}_2} \cdot \left( \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}_1} \right)
 
 
En utilisant les propriétés du produit mixte suivantes, on va s’en sortir (pour une preuve de cette propriété, elle est dans ce billet) :
 
\vec{a} \cdot \left( \vec{b} \wedge \vec{c} \right) = \vec{c} \cdot \left( \vec{a} \wedge \vec{b} \right) = \vec{b} \cdot \left( \vec{c} \wedge \vec{a} \right)  = - \vec{a} \cdot \left( \vec{c} \wedge \vec{b} \right)  = - \vec{c} \cdot \left( \vec{b} \wedge \vec{a} \right)  = - \vec{b} \cdot \left( \vec{a} \wedge \vec{c} \right)
 
On arrive alors à :
 
 \left\lbrace\mathcal{T}_1\right\rbrace \otimes \left\lbrace\mathcal{T}_2\right\rbrace (A) - \left\lbrace\mathcal{T}_1\right\rbrace \otimes \left\lbrace\mathcal{T}_2\right\rbrace (B) = \overrightarrow{\mathcal{R}_1} \cdot \left(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}_2} \right) -  \overrightarrow{\mathcal{R}_1} \cdot \left( \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{\mathcal{R}_2} \right) = 0
 
CQFD

Automoment d’un torseur

L’automoment d’un torseur est la moitié de son comoment avec lui-même, c’est-à-dire :

 \dfrac{1}{2} \left\lbrace\mathcal{T} \right\rbrace \otimes \left\lbrace\mathcal{T} \right\rbrace = \overrightarrow{\mathcal{R}} \cdot \overrightarrow{\mathcal{M}(A)}

Par la propriété précédente, on sait que l’automoment d’un torseur est un invariant scalaire d’un torseur.

Introduction des 3 torseurs particuliers

Torseur nul

Le torseur nul est un torseur de résultante nulle et de moment nul en tout point.

Torseur couple

Le torseur couple est un torseur de résultante nulle.

Torseur glisseur

Le torseur glisseur est un torseur où il existe un point A où le moment est nul. Si un torseur est un glisseur, alors il existe toute une droite \left(A, \overrightarrow{\mathcal{R}} \right) appelée axe centrale du torseur où le moment s’annule. Cette propriété se prouve très aisément grâce à la formule de Varignon.

Théorème à démontrer : le fait que l’automoment d’un torseur est nul est équivalent au fait que le torseur soit un torseur particulier

L’implication dans un sens est triviale : il est facile de calculer les automoments des torseurs particuliers et de montrer qu’ils sont forcément nuls. La réciproque est plus dure… Pour cela, nous allons revenir sur la notion d’axe central.

Axe central d’un torseur quelconque

L’axe central d’un torseur est une droite où le moment est colinéaire à la résultante dans le cas d’un torseur qui n’est ni le torseur nul, ni un torseur couple : en effet, dans ces deux cas-là, les points où le moment est colinaire à la résultante correspond à l’entièreté de l’espace, car le moment est nul en tout point, et donc colinéaire à n’importe quel vecteur.

Trouver l’axe central d’un torseur

On va définir une base sur mesure dans le cas où l’on connaît le moment d’un torseur en un point O :

  • Comme \overrightarrow{\mathcal{R}} est non-nul (on a vu que cela n’avait pas de sens de parler d’axe central dans le cas contraire), on définit : \vec{x} = \dfrac{\overrightarrow{\mathcal{R}}}{\left\Vert \overrightarrow{\mathcal{R}} \right\Vert} ;
  • Si \overrightarrow{\mathcal{M}}(O) = \mathcal{M}_{x} \vec{x}, alors on a le point A qui appartient à l’axe central, et il est trivial de montrer que la droite \left( A, \vec{x} \right) est l’axe central.
  • Il nous reste le cas quelconque : \overrightarrow{\mathcal{M}}(O) = \mathcal{M}_{x} \vec{x} + \overrightarrow{\mathcal{M}_{y}} avec \overrightarrow{\mathcal{M}_{y}} \neq \vec{0} : on définit alors : \vec{y} = \dfrac{\overrightarrow{ \mathcal{M}_{y} } }{\left\Vert\overrightarrow{\mathcal{M}_{y}} \right\Vert}.
  • Dans ce dernier cas, on définit \vec{z} = \vec{x} \wedge \vec{y} afin de compléter une base orthonormée directe.

Dans le cas où l’on n’a pas encore trouver un point de l’axe central, on va le chercher : on va l’appeler C avec :

\overrightarrow{OC} = x \vec{x} + y \vec{y} + z \vec{z}

Calculons alors le moment en C :

\overrightarrow{\mathcal{M}}(C) =  \overrightarrow{\mathcal{M}}(O) + \overrightarrow{\mathcal{R}} \wedge \overrightarrow{OC}

Or, si on reprend la définition de différents axes, on a :

\overrightarrow{\mathcal{M}}(C) = \mathcal{M}_{x} \vec{x} + \mathcal{M}_{y} \vec{y} + \mathcal{R}_{x} \vec{x} \wedge \left( x \vec{x} + y \vec{y} + z \vec{z} \right)

\overrightarrow{\mathcal{M}}(C) = \mathcal{M}_{x} \vec{x} + \left( \mathcal{M}_{y} - \mathcal{R}_{x}\cdot y \right)\vec{y} + \mathcal{R}_{x} \cdot y \vec{z}

On a donc, comme conditions pour avoir le moment C colinéaire à la résultante :

  • x quelconque (ce qui nous définit notre axe) ;
  • y nul ;
  • z =\dfrac{\mathcal{M}_{y} }{\mathcal{R}_{x}}.

On peut donc toujours définir un axe central d’un torseur à partir du moment où le torseur n’est ni le torseur nul, ni un torseur couple.

Propriété suplémentaire d’un axe central

On peut remarquer que tous les moments sur l’axe central sont égaux entre eux. De plus, la partie colinéaire à la résultante du moment est forcément constante sur tous les points de l’espace. Ainsi, ce sont les points où la norme du moment est minimale.

Preuve du théorème

Donc, si nous avons un comoment nul, on a :

  • soit le torseur est nul ;
  • soit le torseur est un torseur couple ;
  • soit le torseur est quelconque, mais avec une partie colinéaire à la résultante nulle (sinon le produit scalaire entre résultante et moment ne serait pas nul) : donc, sur son axe central, le moment est nul : c’est donc un glisseur.

CQFD.

Conclusion

Cette petit propriété peut ainsi permettre de vérifier qu’un torseur est un glisseur très simplement : il faut prouver que l’automoment de ce torseur est nul, et que la résultante est non-nul : c’était typiquement le cas sur l’exercice du Lola.

Équiprojectivité des moments et formule de Varignon : preuve pour les torseurs vus en CPGE

Il a été déjà vu dans 2 billets précédents (preuve de Varignon algébrique et preuve de Varignon géométrique) que la propriété d’équiprojectivité était équivalente à la formule de Varignon : en particulier, dès qu’on a un champs de moment qui possède la propriété d’équiprojectivité, il est possible de définir une résultante.

On va donc compléter la preuve donnée précédemment en prouvant, torseur par torseur, la propriété d’équiprojectivité des torseurs. En se basant sur les résultats généraux, on saura qu’il existe une résultante correspondant à ce champs de moments. En faite, pour presque tous les torseurs, on va retrouver directement la valeur de la résultante en prouvant l’équiprojectivité.

Torseur cinématique

On commence par le plus simple : on veut prouver que :

\overrightarrow{V(A\in 1/2)} \cdot    \overrightarrow{AB} =  \overrightarrow{V(B\in 1/2)}   \cdot    \overrightarrow{AB}

On repart alors de la définition d’une vitesse, avec un point O_2 fixe dans 2 et une base B_2 fixe dans 2 :

\overrightarrow{V(A\in 1/2)} = \left[ \dfrac{d  \overrightarrow{O_2 A} }{dt} \right]_{B_2}

On obtient alors, si on calcule la différence entre 2 vitesses en 2 points différents, on obtient, par linéarité de la dérivée :

\overrightarrow{V(B\in 1/2)} -  \overrightarrow{V(A\in 1/2)}  = \left[ \dfrac{d  \overrightarrow{O_2 B} }{dt} \right]_{B_2} -  \left[ \dfrac{d  \overrightarrow{O_2 A} }{dt} \right]_{B_2} =   \left[ \dfrac{d \left(  \overrightarrow{O_2 B} -  \overrightarrow{O_2 A} \right) }{dt} \right]_{B_2}

Or, on sait, par la relation de Chasles, l’opposé de \overrightarrow{O_2 A} est \overrightarrow{A O_2} ( \overrightarrow{O_2 A} +  \overrightarrow{A O_2} =   \overrightarrow{O_2 O_2} =  \overrightarrow{0}  ) et aussi que \overrightarrow{ O_2 B } +  \overrightarrow{ A O_2 } =  \overrightarrow{AB} . On a donc la relation suivante :

\overrightarrow{V(B\in 1/2)} -  \overrightarrow{V(A\in 1/2)} =  \left[ \dfrac{d   \overrightarrow{AB} }{dt} \right]_{B_2}

Voyons maintenant ce qui se passe quand on fait un produit scalaire de cette relation-là par le vecteur \overrightarrow{AB} :

\overrightarrow{V(B\in 1/2)} \cdot  \overrightarrow{AB} -  \overrightarrow{V(A\in 1/2)} \cdot  \overrightarrow{AB} = \left[ \dfrac{d   \overrightarrow{AB} }{dt} \right]_{B_2}  \cdot  \overrightarrow{AB}

Or, la propriété de la dérivée d’un produit est aussi valable vectoriellement :

\left[ \dfrac{d   \overrightarrow{a}\cdot  \overrightarrow{a}  }{dt}  \right]_{B_2} =   \left[ \dfrac{d   \overrightarrow{a} }{dt}  \right]_{B_2}   \cdot \overrightarrow{a}   +  \overrightarrow{a}\cdot \left[ \dfrac{d \overrightarrow{a}  }{dt}  \right]_{B_2} = 2  \left[ \dfrac{d   \overrightarrow{a} }{dt}  \right]_{B_2}   \cdot \overrightarrow{a}

Et, de plus, le résultat d’un produit scalaire est un scalaire, qui ne dépend donc d’aucune base. On a donc :

\overrightarrow{V(B\in 1/2)} \cdot  \overrightarrow{AB} -   \overrightarrow{V(A\in 1/2)} \cdot  \overrightarrow{AB} = \dfrac{1}{2} \left[ \dfrac{d \overrightarrow{AB}\cdot  \overrightarrow{AB}  }{dt}  \right]_{B_2} =   \dfrac{1}{2} \dfrac{d AB^2}{dt}

Or, par propriété de la non-déformabilité de l’ensemble cinématiquement équivalent 1, on a la distance AB qui est constante. On a donc bien prouvé que :

\overrightarrow{V(A\in 1/2)} \cdot  \overrightarrow{AB} -    \overrightarrow{V(B\in 1/2)} \cdot  \overrightarrow{AB} = 0

CQFD.

Bonus : le torseur des petits déplacements

On pourrait reprendre la preuve précédente pour le torseur des petits déplacements, mais on va encore faire plus simple. La relation qui va nous intéresser ici est la suivantes :

\left[ \overrightarrow{ A(t) A(t+dt) } \right]_{B_2} \cdot    \overrightarrow{AB} =    \left[ \overrightarrow{ B(t) B(t+dt) } \right]_{B_2}    \cdot    \overrightarrow{AB}

Si on reprend la définition de la dérivée, on a, en utilisant intelligemment les notations de Leibniz :

\overrightarrow{V(A\in 1/2)}  =  \left[ \dfrac{d  \overrightarrow{O_2 A} }{dt} \right]_{B_2} =   \dfrac{ \left[ \overrightarrow{O_2 A} (t+dt) -  \overrightarrow{O_2 A} (t) \right]_{B_2} }{dt} =     \dfrac{  \left[ \overrightarrow{ A(t) A(t+dt) } \right]_{B_2}   }{dt}

On obtient donc que la relation que l’on cherche à prouver est équivalent à :

\left( \overrightarrow{V(A\in 1/2)} dt \right) \cdot  \overrightarrow{AB} -      \left( \overrightarrow{V(B\in 1/2)} dt \right)  \cdot  \overrightarrow{AB} = 0

Qui n’est que l’équiprojectivité des vitesses avec une multiplication par dt. CQFD.

[Note : une preuve plus rigoureuse passerait par un développement limité au premier ordre utilisant la formule de Taylor (une linéarisation).]

Torseur des actions mécaniques extérieures, torseur cinétique et torseur dynamique

La preuve pour ces 3 torseurs est quasiment identique, donc nous allons la formuler une seule fois dans un cadre général. En effet, le moment dans ces 3 cas est de la forme :

\overrightarrow{M (A)} =   \displaystyle \int_{M\in 1}  \overrightarrow{AM} \wedge  \overrightarrow{X(m)}

La différence est la fonction vectorielle \overrightarrow{X(m)} qui est utilisée :

Nom du torseur :Symbole du moment : Quantité intégrée : \overrightarrow{X(m)}
Actions mécaniques \overrightarrow{M(A,  \bar{1} \rightarrow 1) } \overrightarrow{f_{M, \bar{1} \rightarrow 1}}
Cinétique \overrightarrow{\sigma(A \in 1 / R_g ) } \overrightarrow{V(M\in 1/ R_g )} dm(M)
Dynamique \overrightarrow{\delta(A \in 1 / R_g ) } \overrightarrow{\Gamma(M\in 1/ R_g )} dm(M)

On veut donc maintenant prouver que :

\overrightarrow{M (A)} \cdot    \overrightarrow{AB} =   \overrightarrow{  M (B)}   \cdot    \overrightarrow{AB}

Comme avec le torseur cinématique, on va repasser par la définition. On va donc s’intéresser à la différence, on va pouvoir profiter que la région d’intégration soit la même pour fusionner les 2 intégrales en 1 intégrale unique. On profite de la linéarité de l’intégrale et du produit vectoriel, on a donc :

\overrightarrow{M (B)} -    \overrightarrow{M (A)} = \displaystyle \int_{M\in 1}   \left( \overrightarrow{BM} -  \overrightarrow{AM} \right)  \wedge  \overrightarrow{X(M)}

En utilisant la relation de Chasles, on obtient donc :

\overrightarrow{M (B)} -    \overrightarrow{M (A)} =  \displaystyle \int_{M\in 1}  \overrightarrow{BA} \wedge  \overrightarrow{X(M)}

Comme \overrightarrow{BA} ne dépend pas de la variable d’intégration M, on peut le sortir de l’intégrale, et on obtient donc :

\overrightarrow{M (B)} -    \overrightarrow{M (A)} =  \overrightarrow{BA} \wedge  \displaystyle  \int_{M\in 1}    \overrightarrow{X(M)}


Non seulement la différence des 2 moments est trivialement orthogonal au vecteur \overrightarrow{AB} car le résultat du produit vectoriel est toujours orthogonal à ces opérandes (CQFD), mais on a directement une formule pour la résultante :

\overrightarrow{R} =   \displaystyle \int_{M\in 1}  \overrightarrow{X(m)}

La différence est la fonction vectorielle \overrightarrow{X(m)} qui est utilisée :

Nom du torseur :Symbole de la résultante :Nom de la résultante : Quantité intégrée : \overrightarrow{X(m)}
Actions mécaniques \overrightarrow{F(\bar{1} \rightarrow 1) } Force \overrightarrow{f_{M, \bar{1} \rightarrow 1}}
Cinétique \overrightarrow{R_c (A \in 1 / R_g ) } Quantité de mouvement \overrightarrow{V(M\in 1/ R_g )} dm(M)
Dynamique \overrightarrow{R_d(A \in 1 / R_g ) } Quantité d’accélération \overrightarrow{\Gamma(M\in 1/ R_g )} dm(M)

Triomphe de Babar (2) : Preuve de Varignon sans algèbre

Si, dans le billet précédent, la preuve de l’équivalence entre champ vectoriel équiprojectif et relation de Varignon vous a été donnée, cette dernière fait intervenir une bonne part d’algèbre.

Je vais essayer de vous proposer ici une preuve ne faisant intervenir que des concepts de géométrie vectorielle et on pourra en profiter pour voir une méthode pour prouver des relations vectorielles.

Tourne le produit mixte

Le produit mixte est invariant par permutation circulaire, on peut réécrire cette propriété comme suis :

\forall \vec{a},\vec{b},\vec{c} \quad \left ( \vec{a} \wedge \vec{b}  \right ) . \vec{c} = \left ( \vec{c} \wedge \vec{a}  \right ).\vec{b} = \left (\vec{b} \wedge \vec{c}  \right ).\vec{a}

Remarquons qu’il suffit de prouver la première égalité pour prouver immédiatement la seconde.

Remarquons que si l’on décompose chaque vecteur dans une base orthonormée, il suffit que la relation soit vraie pour tous les triplet de la base pour qu’elle soit vraie pour tous les vecteurs de l’espace.

Alors, si, à priori, la preuve pourrait sembler complexe, ce n’est plus le cas : elle est, au pire, un petit peu fastidieuse : trois triplets avec trois choix pour chacun représentent 3^3 = 27 cas à traiter. Dans l’idéal, une représentation en cube aurait été parfaite, mais cette dernière est difficilement possible sur le papier.

Nous allons donc nous contenter de trois tableaux 3×3. Voici d’abord ceux de \left ( \vec{a} \wedge \vec{b} \right ) . \vec{c}

\vec{c} = \vec{x}\\ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \vec{a} \backslash \vec{b} & \vec{x} &  \vec{y} &  \vec{z}\\ \hline \vec{x} & \vec{0}.\vec{x}=0 &  \vec{z}.\vec{x}=0 &  -\vec{y}.\vec{x}=0\\ \hline \vec{y} & -\vec{z}.\vec{x}=0 &  \vec{0}.\vec{x}=0 &  \vec{x}.\vec{x}=1\\ \hline \vec{z} & \vec{y}.\vec{x}=0 &  -\vec{x}.\vec{x}=-1 &  \vec{0}.\vec{x}=0\\ \hline \end{array}

\vec{c} = \vec{y}\\ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \vec{a} \backslash \vec{b} & \vec{x} &  \vec{y} &  \vec{z}\\ \hline \vec{x} & \vec{0}.\vec{y}=0 &  \vec{z}.\vec{y}=0 &  -\vec{y}.\vec{y}=-1\\ \hline \vec{y} & -\vec{z}.\vec{y}=0 &  \vec{0}.\vec{y}=0 &  \vec{x}.\vec{y}=0\\ \hline \vec{z} & \vec{y}.\vec{y}=1 &  -\vec{x}.\vec{y}=0 &  \vec{0}.\vec{y}=0\\ \hline \end{array}

\vec{c} = \vec{z}\\ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \vec{a} \backslash \vec{b} & \vec{x} &  \vec{y} &  \vec{z}\\ \hline \vec{x} & \vec{0}.\vec{z}=0 &  \vec{z}.\vec{z}=1 &  -\vec{y}.\vec{z}=0\\ \hline \vec{y} & -\vec{z}.\vec{z}=-1 &  \vec{0}.\vec{z}=0 &  \vec{x}.\vec{z}=0\\ \hline \vec{z} & \vec{y}.\vec{z}=0 &  -\vec{x}.\vec{z}=0 &  \vec{0}.\vec{z}=0\\ \hline \end{array}

Nous allons donc pouvoir les comparer aux tableaux obtenus avec \left ( \vec{c} \wedge \vec{a}  \right ).\vec{b} :

\vec{c} = \vec{x}\\ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \vec{a} \backslash \vec{b} & \vec{x} &  \vec{y} &  \vec{z}\\ \hline \vec{x} & \vec{0}.\vec{x}=0 &  \vec{0}.\vec{y}=0 &  -\vec{0}.\vec{z}=0\\ \hline \vec{y} & \vec{z}.\vec{x}=0 &  \vec{z}.\vec{y}=0 &  \vec{z}.\vec{z}=1\\ \hline \vec{z} & -\vec{y}.\vec{x}=0 &  -\vec{y}.\vec{y}=-1 &  -\vec{y}.\vec{z}=0\\ \hline \end{array}

\vec{c} = \vec{y}\\ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \vec{a} \backslash \vec{b} & \vec{x} &  \vec{y} &  \vec{z}\\ \hline \vec{x} & -\vec{z}.\vec{x}=0 &  -\vec{z}.\vec{y}=0 &  -\vec{z}.\vec{z}=-1\\ \hline \vec{y} & \vec{0}.\vec{x}=0 &  \vec{0}.\vec{y}=0 &  \vec{0}.\vec{z}=0\\ \hline \vec{z} & \vec{x}.\vec{x}=1 &  \vec{x}.\vec{y}=0 &  \vec{x}.\vec{z}=0\\ \hline \end{array}

\vec{c} = \vec{z}\\ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \vec{a} \backslash \vec{b} & \vec{x} &  \vec{y} &  \vec{z}\\ \hline \vec{x} & \vec{y}.\vec{x}=0 &  \vec{y}.\vec{y}=1 &  \vec{y}.\vec{z}=0\\ \hline \vec{y} & -\vec{x}.\vec{x}=-1 &  -\vec{x}.\vec{y}=0 &  -\vec{x}.\vec{z}=0\\ \hline \vec{z} & \vec{0}.\vec{x}=0 &  \vec{0}.\vec{y}=0 &  \vec{0}.\vec{z}=0\\ \hline \end{array}

Le résultat est identique dans les 27 cas, donc la formule est vraie dans le cas général.

On peut noter plusieurs remarques :

  • on aurait pu aisément faire seulement 3 tableaux pour ne représenter que la différence entre le terme de gauche par le terme de droite et constater qu’il est nul pour tous les triplets ;
  • dans ce cas particulier, on peut constater que beaucoup de cas sont nuls trivialement (le produit vectoriel d’un vecteur par lui-même est nul, et le produit vectoriel est orthogonal a ses deux antécédents) : seuls les cas où \vec{a}, \vec{b} et \vec{c} sont différents présentent un résultat non trivial : cela représente seulement 3! = 6 cas ;
  • on peut construire une base ad hoc pour se simplifier les choses et limiter le nombre de cas à étudier : si \vec{a}/\left \Vert \vec{a} \right \Vert est considérée comme le premier élément de la base orthonormée considérée. On peut de la même façon considérer que la deuxième vecteur peut être représenté uniquement grâce aux deux premiers vecteurs de la base grâce au choix du deuxième vecteur de la base (voir la suite).

Preuve du double produit

Prouvons maintenant la formule du double produit vectoriel ainsi :

\left ( \vec{a} \wedge \vec{b} \right ) \wedge \vec{c} = \left (\vec{a}.\vec{c} \right ) \vec{b}- \left (\vec{b}.\vec{c} \right )\vec{a}

La définition de la base se fera ainsi :

  • Dans le cas où \vec{a} et \vec{b} ne sont pas colinéaire, on travaillera dans la base suivante :
    \mathcal{B} = \left ( \vec{x} = \dfrac{\vec{a}}{\left \Vert \vec{a} \right \Vert}, \vec{y} = \dfrac{\vec{b}-(\vec{b}.\vec{x})\vec{x}}{\left \Vert \vec{b}-(\vec{b}.\vec{x})\vec{x} \right \Vert}, \vec{z}=\vec{x}\wedge \vec{y} \right )
  • Si \vec{a} et \vec{b} sont colinéaires et \vec{a} \neq \vec{0}, on travaillera dans n’importe quelle base commençant par le vecteur \vec{x} défini de la même façon.
  • Dans le cas où \vec{a} = \vec{0} et \vec{b} \neq \vec{0}, on définit \vec{y}=\vec{b}/\left \Vert \vec{b} \right \Vert et les deux autres vecteurs de façon quelconque.
  • Si \vec{a} et \vec{b} sont nuls, alors n’importe quelle base convient.

Le but de cette construction est de faire en sorte que, dans tous les cas, le vecteur \vec{a} est porté par \vec{x}, et le vecteur \vec{b} est porté par \vec{x} et \vec{y} et \vec{c} est quelconque. La construction est unpetit peu fastidieuse, mais c’est parce qu’elle demande de prendre en compte les cas particuliers.

Mais, grâce à elle, on se retrouve donc avec seulement 6 cas à étudier au lieu de 27.

Voici d’abord le résultat pour le membre de gauche \left ( \vec{a} \wedge \vec{b} \right ) \wedge \vec{c} :

\vec{a} = \vec{x}\\ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \vec{b} \backslash \vec{c} & \vec{x} &  \vec{y} &  \vec{z}\\ \hline \vec{x} & \vec{0}\wedge\vec{x}=\vec{0} &  \vec{0}\wedge\vec{y}=\vec{0} &  \vec{0}\wedge\vec{z}=\vec{0} \\ \hline \vec{y} & \vec{z}\wedge\vec{x}=\vec{y} &  \vec{z}\wedge\vec{y}=-\vec{x} &  \vec{z}\wedge\vec{z}=\vec{0} \\ \hline \end{array}

Et voici le résultat pour le membre de droite \left (\vec{a}.\vec{c} \right ) \vec{b}- \left (\vec{b}.\vec{c} \right )\vec{a} :

\vec{a} = \vec{x}\\ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \vec{b} \backslash \vec{c} & \vec{x} &  \vec{y} &  \vec{z}\\ \hline \vec{x} & 1\vec{x}-1\vec{x}=\vec{0} & 0\vec{x}-0\vec{x}=\vec{0} &  0\vec{x}-0\vec{x}=\vec{0} \\ \hline \vec{y} & 1\vec{y}-0\vec{x}=\vec{y} &  0\vec{y}-1\vec{x}=-\vec{x} &  0\vec{y}-0\vec{x}=\vec{0} \\ \hline \end{array}

Les résultats des deux tableaux correspondent, donc on a prouvé notre relation dans une base particulière, donc dans toutes les bases.

Ce n’est surement pas la preuve la plus élégante, mais elle possède un atout que je trouve redoutable : elle permet de vérifier une formule vectorielle floue en moins d’une minute sur un brouillon.

L’orthogonalité vue comme conséquence d’un produit vectoriel

On se pose une équation d’orthogonalité de vecteur tel que :

\vec{a}.\vec{b} = 0

On veut prouver alors que cela implique qu’il existe une famille de vecteur \vec{c} + \lambda \vec{b} tel que :

\vec{c}.\vec{b} = 0 \\ \vec{a} = \left ( \vec{c} + \lambda \vec{b} \right ) \wedge \vec{b}

Le fait que l’ajout du vecteur \lambda \vec{b} ne change rien au résultat est assez évident. L’une des manières de construire cette démonstration est de trouver un vecteur \vec{c} qui convienne.

On propose par exemple, tant que \vec{b} \neq \vec{0}  :

\vec{c} = \dfrac{\vec{b} \wedge \vec{a}}{\vec{b}.\vec{b}}

Vérifions que l’on retrouve bien le bon résultat en utilisant la formule du double produit vectoriel :

\vec{c} \wedge \vec{b} = \dfrac{\vec{b} \wedge \vec{a}}{\vec{b}.\vec{b}} \wedge \vec{b} = \dfrac{(\vec{b}.\vec{b})\vec{a}-(\vec{b}.\vec{a})\vec{b}}{\vec{b}.\vec{b}} = \vec{a}

Dans le cas où \vec{b} = \vec{0}, il suffit de prendre : \vec{c} = \vec{0} par exemple, bien que dans ce cas-là, toutes les résultantes soient possibles.

Il est donc toujours possible de construire une relation de produit vectoriel à partir d’une orthogonalité.

Propriété fondamentale de la fonction différence des moments

Soit une base orthonormée \left ( \vec{i},\vec{j},\vec{k} \right ), une origine O et un champ équiprojectif de moment \mathcal{M}(M).

On pose la fonction \vec{u_O}(M) =\mathcal{M}(M)-\mathcal{M}(0) qui, à tout point de l’espace, associe la différence du moment en ce point par le moment à l’origine O.

Par la relation d’équiprojectivité, on obtient rapidement que :

\vec{u_O}(M).\vec{OM} = 0

Il existe donc une famille de vecteur \vec{R}_O(M) + \lambda \vec{OM} tel que :

\vec{u_O}(M)= (\vec{R}_O(M) + \lambda \vec{OM}) \wedge \vec{OM}

De même pour le point N quelconque aussi : il existe une famille de vecteur \vec{R}_O(N) + \mu \vec{ON} tel que :

\vec{u_O}(N)= (\vec{R}_O(N) + \mu \vec{ON}) \wedge \vec{ON}

Si on soustrait les deux relations précédentes, on obtient donc :

\vec{u_O}(M) - \vec{u_O}(N) = (\vec{R}_O(M) + \lambda \vec{OM}) \wedge \vec{OM} - (\vec{R}_O(N) + \mu \vec{ON}) \wedge \vec{ON}

En repassant par la définition de la fonction \vec{u_O}(M) et en utilisant la propriété d’équiprojectivité du champ des moments, lorsqu’on projette cette équation sur \vec{MN}, on obtient :

0 = \left ( (\vec{R}_O(M) + \lambda \vec{OM}) \wedge \vec{OM} \right ). \vec{MN}- \left ( (\vec{R}_O(N) + \mu \vec{ON}) \wedge \vec{ON}\right ). \vec{MN}

En utilisant l’invariance du produit mixte par permutation circulaire, on obtient :

0 = \left ( \vec{OM} \wedge \vec{MN} \right ) . \left ( \vec{R}_O(M) + \lambda \vec{OM} \right ) - \left ( \vec{ON} \wedge \vec{MN} \right ) . \left (\vec{R}_O(N) + \mu \vec{ON} \right )

Or, on peut réécrire le premier produit vectoriel :

\vec{OM} \wedge \vec{MN} =\vec{OM} \wedge \vec{MN}+\vec{OM} \wedge \vec{OM} = \vec{OM} \wedge \left( \vec{OM}  +\vec{MN} \right) = \vec{OM} \wedge \vec{ON}

De même pour le deuxième produit vectoriel :

\vec{ON} \wedge \vec{MN} = \vec{ON} \wedge \left( \vec{MN}  +\vec{NO} \right) = \vec{ON} \wedge \vec{MO}= \vec{OM} \wedge \vec{ON}

On obtient pour tout point M et N la relation suivante :

\left ( \vec{OM} \wedge \vec{ON} \right ) . \left ( \vec{R}_O(M) + \lambda \vec{OM} - \vec{R}_O(N) - \mu \vec{ON} \right ) = 0

C’est cette relation qui sera surtout utilisée par la suite.

Preuve sur 3 points particuliers du repère

Soient les trois points I, J et K définis par :

\vec{OI} = \vec{i}, \quad \vec{OJ} = \vec{j}, \quad \vec{OK} = \vec{k}

Si on remplace le couple M et N par I et J, puis par J et K et enfin par K et I, on obtient les trois relations suivantes, avec les variables \lambda, \mu et \nu qui correspondent respectivement à \vec{OI}, \vec{OJ} et \vec{OK} :

\left ( \vec{OI} \wedge \vec{OJ} \right ) . \left ( \vec{R}_O(I) + \lambda \vec{OI} - \vec{R}_O(J) - \mu \vec{OJ} \right ) = 0 \\ \left ( \vec{OJ} \wedge \vec{OK} \right ) . \left ( \vec{R}_O(J) + \mu \vec{OJ} - \vec{R}_O(K) - \nu \vec{OK} \right ) = 0 \\ \left ( \vec{OK} \wedge \vec{OI} \right ) . \left ( \vec{R}_O(K) + \nu \vec{OK} - \vec{R}_O(I) - \lambda \vec{OI} \right ) = 0

Que l’on peut simplement réécrire :

\left ( \vec{R}_O(I) + \lambda \vec{i} \right ). \vec{k} = \left ( \vec{R}_O(J) + \mu \vec{j} \right ). \vec{k} \\ \left ( \vec{R}_O(J) + \mu \vec{j} \right ). \vec{i} = \left ( \vec{R}_O(K) + \nu \vec{k} \right ). \vec{i} \\ \left ( \vec{R}_O(K) + \nu \vec{k} \right ). \vec{j} = \left ( \vec{R}_O(I) + \lambda \vec{i} \right ). \vec{j}

On se rend déjà compte des égalités suivantes :

\vec{R}_O(I) . \vec{k} = \vec{R}_O(J) . \vec{k} \\ \vec{R}_O(J) . \vec{i} = \vec{R}_O(K) . \vec{i} \\ \vec{R}_O(K) . \vec{j} = \vec{R}_O(I) . \vec{j}

Si on choisit correctement les valeurs de \lambda, \mu, \nu, on obtient un vecteur qui appartient aux trois familles de vecteurs en même temps :

\lambda= \vec{R}_O(J). \vec{i} = \vec{R}_O(K). \vec{i} \\ \mu = \vec{R}_O(K). \vec{j} = \vec{R}_O(I). \vec{j} \\ \nu = \vec{R}_O(I). \vec{k} = \vec{R}_O(J). \vec{k}

Et on a donc un vecteur unique \vec{R}_O(\mathcal{B}) tel que :

\vec{u_O}(I)= \vec{R}_O(\mathcal{B}) \wedge \vec{OI} \\ \vec{u_O}(J)= \vec{R}_O(\mathcal{B}) \wedge \vec{OJ} \\ \vec{u_O}(K)= \vec{R}_O(\mathcal{B}) \wedge \vec{OK}

Il ne reste donc plus qu’à prouver que ceci est vrai pour n’importe quel point M.

Généralisation pour tous les points

Pour un point M  d’abscisse x, d’ordonnée y et de cote z, on obtient en remplaçant le couple M et N par M et I, puis par M et J et enfin par M et K :

\left ( \vec{OM} \wedge \vec{OI} \right ) . \left ( \vec{R}_O(M) + \lambda \vec{OM} - \vec{R}_O(\mathcal{B}) \right ) = 0 \\ \left ( \vec{OM} \wedge \vec{OJ} \right ) . \left ( \vec{R}_O(M) + \lambda \vec{OM} - \vec{R}_O(\mathcal{B}) \right ) = 0 \\ \left ( \vec{OM} \wedge \vec{OK} \right ) . \left ( \vec{R}_O(M) + \lambda \vec{OM} - \vec{R}_O(\mathcal{B}) \right ) = 0

Par invariance du produit mixte par permutation circulaire, on obtient donc :

\left ( \left ( \vec{R}_O(M) + \lambda \vec{OM} - \vec{R}_O(\mathcal{B}) \right ) \wedge \vec{OM} \right ) . \vec{OI} = 0 \\ \left ( \left ( \vec{R}_O(M) + \lambda \vec{OM} - \vec{R}_O(\mathcal{B}) \right ) \wedge \vec{OM} \right ) . \vec{OJ} = 0 \\ \left ( \left ( \vec{R}_O(M) + \lambda \vec{OM} - \vec{R}_O(\mathcal{B}) \right ) \wedge \vec{OM} \ \right ) . \vec{OK} = 0

On retrouve une relation vectorielle projetée sur tous les vecteurs de la base, ce qui prouve donc que :

\left ( \vec{R}_O(M) + \lambda \vec{OM} - \vec{R}_O(\mathcal{B}) \right ) \wedge \vec{OM}= \vec{0}

Donc \left ( \vec{R}_O(M) + \lambda \vec{OM} - \vec{R}_O(\mathcal{B}) \right ) et \vec{OM} sont colinéaires. Que l’on peut réécrire par le fait qu’il existe un réel k tel que :

\vec{R}_O(M) + \lambda \vec{OM} - \vec{R}_O(\mathcal{B}) = k \vec{OM}

Pour \lambda =k, on obtient bien que \vec{R}_O(\mathcal{B}) fait partie de la famille qui permet le calcul de la fonction \vec{u_O}(M).

Indépendance de l’origine

On a donc bien obtenu que pour n’importe quel point M, il existe un unique vecteur \vec{R}_O tel que :

\vec{u_O}(M) =\mathcal{M}(M)-\mathcal{M}(0) = \vec{R}_O \wedge \vec{OM}

Donc cela est aussi vrai pour le point N quelconque aussi :

\vec{u_O}(N) =\mathcal{M}(N)-\mathcal{M}(0) = \vec{R}_O \wedge \vec{ON}

Si l’on soustrait ces deux relations, on obtient alors :

\mathcal{M}(M)-\mathcal{M}(N) = \vec{R}_O \wedge \vec{MN}

On voit que le point origine n’intervient plus : la résultante est indépendante de ce point arbitraire, et on peut la renomer simplement \vec{R} tel que, quels que soient deux points M et N :

\mathcal{M}(M)-\mathcal{M}(N) = \vec{R} \wedge \vec{MN}

Le triomphe de Babar ou la preuve de Varignon

Toutes les personnes ayant subi un cours classique de mécanique en France connaissent cet outil qu’est le torseur… Mais le connait-on si bien que cela ?

Ce petit billet est juste là pour rappeler quelques propriétés et mettre en place quelques preuves qui sont souvent très vite passées sous silence, soit par manque d’intérêt pratique, soit par manque de fondement mathématique chez les étudiants.

Définition d’un torseur

Un torseur est un champ vectoriel équiprojectif. Je sais, cela commence fort… mais qu’est-ce que cela signifie ? Un champ vectoriel est juste une fonction qui associe un vecteur à chaque point d’un espace. Ainsi, l’accélération de la pesanteur est un champ vectoriel : en chaque point de l’espace, on peut y associer une norme et une direction. Dans le cas d’un torseur, on parlera de moment en un point.

La propriété d’équiprojectivité oblige à se tourner vers la notion d’espace vectoriel euclidien, c’est-à-dire un espace muni d’un produit scalaire, c’est-à-dire une forme bilinéaire (linéaire suivant chacune de ses deux entrées), symétrique (\vec{u}.\vec{v} = \vec{v}.\vec{u} ), définie (\vec{u}.\vec{u} = 0 ssi  \vec{u} = \vec{0}) et positive (\vec{u}.\vec{u} \geq 0).

Parmi les propriétés fondamentales du produit scalaire, l’une des plus importantes est la projection, qui permet de passer d’une équation vectorielle à une version scalaire ne représentant que ce qui se passe  suivant une direction particulière.

L’équiprojectivité : le latin pour les nuls

Du latin aequus (égal), et projicio (jeter en avant, projacio). Il s’agit donc d’une projection identique de notre champ vectoriel.

La propriété d’équiprojectivité consiste en effet à avoir, pour deux points différents A et B, les moments correspondants (\vec{\mathcal{M}}(A) et \vec{\mathcal{M}}(B)) qui ont la même projection. Mais la question subsiste, suivant quelle direction ? La réponse est la plus simple possible : suivant la direction créée par les deux points pris au hasard.

On peut donc réécrire la propriété fondamentale d’un champ équiprojectif comme étant :
\forall (A,B) \quad\vec{\mathcal{M}}(B).\vec{AB} = \vec{\mathcal{M}}(A).\vec{AB}

Mais on sait tous que cette relation est presque anecdotique devant une relation bien plus importante, connue sous le nom civil de relation de Varignon, ou par son nom de scène : formule BABAR :
\forall (A,B) \exists! \vec{R} \quad | \quad \vec{\mathcal{M}}(B) = \vec{\mathcal{M}}(A) + \vec{BA} \wedge \vec{R}

Ce vecteur \vec{R} est appelé résultante. Et, croyez-le ou non, ces deux formulations sont exactement équivalentes (dans un espace de dimension 3). Le fait de prouver qu’un champ vectoriel répondant à la formule de Varignon est bien équiprojectif est presque trivial : si on projette Varignon sur \vec{AB}, on obtient :
\forall (A,B) \quad \vec{\mathcal{M}}(B).\vec{AB} = \vec{\mathcal{M}}(A).\vec{AB} + \vec{BA} \wedge \vec{R}.\vec{AB} = \vec{\mathcal{M}}(A).\vec{AB}

Deux façons possibles, par exemple, pour se convaincre que la deuxième moitié du terme de droite est nulle :

  • le produit scalaire de deux termes orthogonaux est toujours nul et le résultat d’un produit vectoriel est orthogonal à ses deux termes ;
  • le produit mixte résultant a ses trois termes trivialement coplanaires (le volume du parallélépipède engendré par ces trois vecteurs est donc nul).

Nous allons garder le reste du billet pour montrer que la réciproque est vraie : pour cela, nous allons montrer que la fonction \vec{u} : \vec{AB} \rightarrow \vec{u}(\vec{AB}) = \left ( \vec{\mathcal{M}}(B) - \vec{\mathcal{M}}(A) \right ) est un endomorphisme antisymétrique, que tout endomorphisme antisymétrique est forcément linéaire, qu’il se représente donc comme une multiplication par une matrice antisymétrique qui peut donc se résumer par un produit vectoriel.

Si le résultat est connu, et que la preuve n’est pas si difficile que cela, au moins a-t-elle le mérite de brasser de l’algèbre linéaire et de la géométrie vectorielle, dont la maitrise peut permettre de faciliter la résolution de quelques exercices ou problèmes.

L’endomorphisme antisymétrique : parce que le grec, les mathématiciens, ils aiment bien ça aussi !

Pour endomorphisme : du grec ancien : éndon (dedans) et morphè (forme).
Pour antisymétrie : Du grec ancien anti (au lieu de, en comparaison de, contre) et du grec ancien par le latin : symmetria, composé de sýn (avec) et métron (mesure).

Un endomorphisme est juste le nom d’une application dans elle-même : on va ainsi créée l’application qui dépend d’un point d’origine arbitraire O et définie par \vec{u_O} : \vec{OA} \rightarrow \vec{u_O}(\vec{OA}) = \left ( \vec{\mathcal{M}}(A) - \vec{\mathcal{M}}(O) \right ). Elle va bien de l’espace vectoriel (des positions de point) à l’espace vectoriel (des différences de moment).

Un endomorphisme \vec{u_O} est dit antisymétrique s’il possède la propriété suivante :

\forall (\vec{x},\vec{y}) \quad \vec{u_O}(\vec{x}).\vec{y} = - \vec{x}.\vec{u_O}(\vec{y})

Pour ceux qui se souviennent de ce qu’est un endomorphisme adjoint, un endomorphisme antisymétrique a son adjoint qui est également son opposé. Mais cela revient juste à la propriété montrée plus haut.

Pour prouver cette simple propriété, on va créer deux points A et B à partir de deux vecteurs quelconques \vec{x} et \vec{y} tel que : \vec{OA} = \vec{x} et \vec{OB} = \vec{y}. Voyons ce que cela nous donne :

\vec{u_O}(\vec{x}).\vec{y} = \vec{u}(\vec{OA}).\vec{OB}\\ \vec{u_O}(\vec{x}).\vec{y} = \left( \vec{M}(A)-\vec{M}(O) \right).\vec{OB}\\ \vec{u_O}(\vec{x}).\vec{y} = \vec{M}(A).\vec{OB} -\vec{M}(O).\vec{OB}

Par bilinéarité du produit scalaire (distributivité de l’addition).

\vec{u_O}(\vec{x}).\vec{y} = \vec{M}(A).\left(\vec{OA} + \vec{AB}\right) -\vec{M}(O).\vec{OB}\\ \vec{u_O}(\vec{x}).\vec{y} = \vec{M}(A).\vec{OA} + \vec{M}(A).\vec{AB} -\vec{M}(O).\vec{OB}

Par la relation de Chasles, puis l’utilisation de la bilinéarité du produit scalaire (distributivité de l’addition).

\vec{u_O}(\vec{x}).\vec{y} = \vec{M}(O).\vec{OA} + \vec{M}(B)\vec{AB} -\vec{M}(B).\vec{OB}

Par l’équiprojectivité du champ des moments.

\vec{u_O}(\vec{x}).\vec{y} = \vec{M}(O).\vec{OA} + \vec{M}(B).\left(\vec{AB}-\vec{OB}\right)\\ \vec{u_O}(\vec{x}).\vec{y} = \vec{M}(O).\vec{OA} - \vec{M}(B).\left(\vec{OB}+\vec{BA}\right)\\ \vec{u_O}(\vec{x}).\vec{y} = \vec{M}(O).\vec{OA} - \vec{M}(B).\vec{OA}

Par bilinéarité du produit scalaire (factorisation), puis utilisation de la relation de Chasles.

\vec{u_O}(\vec{x}).\vec{y} = \left( \vec{M}(O)-\vec{M}(B) \right).\vec{OA}\\ \vec{u_O}(\vec{x}).\vec{y} = -\left( \vec{M}(B)-\vec{M}(O) \right).\vec{OA}\\ \vec{u_O}(\vec{x}).\vec{y} = -\vec{u_O}(\vec{OB}).\vec{OA}\\ \vec{u_O}(\vec{x}).\vec{y} = -\vec{u_O}(\vec{y}).\vec{x}

Par bilinéarité du produit scalaire (factorisation), puis utilisation de la définition de l’endomorphisme \vec{u}(\vec{OB}) et enfin par définition des positions des points A et B.

Notre endomorphisme est donc antisymétrique… Et cela tombe très bien, parce qu’il est alors linéaire, ce qui va nous apporter beaucoup pour la suite.

Linéarité et Chasles : bye-bye l’arbitraire de l’origine

Tout endomorphisme antisymétrique est linéaire. Ceci se prouve assez facilement une fois que l’on se souvient d’une certaine propriété, qui peut sembler évidente mais que l’on va néanmoins prouver ici par souci d’exhaustivité : lorsqu’une relation vectorielle est vraie suivant toutes les projections possibles, alors elle est vraie.

En langage mathématique, on obtient donc le théorème suivant :

\forall \vec{x} \quad \vec{a}.\vec{x} = \vec{b}.\vec{x} \Leftrightarrow \vec{a} = \vec{b} \\

La réciproque est bien sûr trivialement vraie. L’implication peut sembler évidente à beaucoup de monde également, mais en faire une preuve complète en fait un bon exercice pour citer clairement les propriétés du produit scalaire utilisé et permettre de généraliser ce résultat même à des espaces vectoriels infinis. En effet, toutes les preuves précédentes et les deux qui vont suivre sont également valable dans un espace infini.

\forall \vec{x}\quad \vec{a}.\vec{x} = \vec{b}.\vec{x}

On met en facteur en faisant apparaître un zéro en terme de gauche :

(\vec{a}-\vec{b}).\vec{x} =0

En particulier, la propriété est vrai pour \vec{x} = \vec{a}-\vec{b} :
(\vec{a}-\vec{b}).(\vec{a}-\vec{b}) =0

Or le produit scalaire est une forme définie (\vec{u}.\vec{u} = 0 ssi  \vec{u} = \vec{0}), d’où l’on déduit:
\vec{a}-\vec{b} = \vec{0}

Et donc on peut conclure :

\vec{a} = \vec{b}

Autrement dit, si une chose est vraie suivant tous les points de vue, cette chose est vraie. Les philosophes pourraient encore débattre, les mathématiciens non…

Revenons-en au cœur du problème : tout endomorphisme antisymétrique est linéaire. On sait, par l’antisymétrie de l’endomorphisme \vec{u_O} :

\forall (\vec{x},\vec{y},\vec{z}) \\ \vec{u_O}(\lambda\vec{x}+\vec{y}).\vec{z} = -\left (\lambda\vec{x}+\vec{y} \right ).\vec{u_O}(\vec{z})

On utilise ensuite la bilinéarité du produit scalaire :

\vec{u_O}(\lambda\vec{x}+\vec{y}).\vec{z} = -\lambda\, \vec{x}.\vec{u_O}(\vec{z}) -\vec{y}.\vec{u_O}(\vec{z})

Et de nouveau par l’antisymétrie de l’endomorphisme \vec{u_O} :

\vec{u_O}(\lambda\vec{x}+\vec{y}).\vec{z} = \lambda\, \vec{u_O}(\vec{x}).\vec{z} +\vec{u_O}(\vec{y}).\vec{z} \\ \vec{u_O}(\lambda\vec{x}+\vec{y}).\vec{z} = \left ( \lambda\, \vec{u_O}(\vec{x})+\vec{u_O}(\vec{y}) \right ).\vec{z}

Et cette dernière équation étant vraie quelque-soit \vec{z}, on en conclue par le théorème rapidement présenté en début de paragraphe que :

\vec{u_O}(\lambda\vec{x}+\vec{y}) = \lambda\, \vec{u_O}(\vec{x})+\vec{u_O}(\vec{y})

Autrement dit, l’endomorphisme \vec{u_O} est linéaire.

Et de là tombe ce qui a pu vous sembler comme la pire escroquerie que l’on ne vous ait jamais vendue : l’endomorphisme \vec{u_O} est dépendant du point O, choix complètement arbitraire. Et l’on n’a jamais vu en mécanique la résultante d’un torseur dépendre de l’origine.

Pour l’instant, la définition de l’endomorphisme n’était claire que pour des vecteurs positionnés par rapport à l’origine. Essayons de résoudre maintenant un cas différent avec deux points A et B quelconques :

\vec{u_O}(\vec{AB}) = \vec{u_O}(\vec{OB}-\vec{OA})

Par la relation de Chasles.

\vec{u_O}(\vec{AB}) = \vec{u_O}(\vec{OB})-\vec{u_O}(\vec{AO})

Par la linéarité de l’endomorphisme.

\vec{u_O}(\vec{AB}) = \left ( \vec{\mathcal{M}}(B) - \vec{\mathcal{M}}(O) \right )-\left ( \vec{\mathcal{M}}(A) - \vec{\mathcal{M}}(O) \right )

Par l’endomorphisme défini grâce au moment du point obtenu vecteur position.

Et on a donc la propriété suivante, vraie quelque soit le couple de point A, B :

\vec{u_O}(\vec{AB}) = \vec{\mathcal{M}}(B) - \vec{\mathcal{M}}(A)

On voit alors clairement que cet endomorphisme ne dépend aucunement du point d’origine et que n’importe quel autre point nous aurait donné le même endomorphisme.

Rassurés, nous changeons donc \vec{u_O} en \vec{u} pour fêter cela !

Endomorphisme linéaire et matrice : une histoire d’amour fructueuse

On se limitera pour la suite à un espace vectoriel fini de dimension n. On peut donc définir la matrice A = (a_{i,j}) de l’endomorphisme \vec{u} dans une base orthonormée \mathcal{B} = (\vec{e}_1,...\vec{e}_n).

Les coefficients de cette matrice sont, par définition :

a_{i,j} = \vec{e}_i.\vec{u}(\vec{e}_j)

Or par antisymétrie de l’endomorphisme :

\vec{e}_i.\vec{u}(\vec{e}_j) = - \vec{e}_j.\vec{u}(\vec{e}_i)

Donc, a_{i,j} = - a_{j,i}.

Autrement dit, la matrice A est antisymétrique (A^T = -A).

Dans le cas d’un espace de dimension 3, on écrira pour la suite :

A = \begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0 \end{pmatrix}

Pseudovecteur et produit vectoriel…

Soit l’entrée \vec{b} de la fonction exprimée dans la base \mathcal{B} sous la forme d’une matrice colonne :

\vec{b} = \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}

L’image de l’entrée \vec{b} dans la base \mathcal{B} est donnée par le vecteur colonne calculé comme suit :

\vec{u}(\vec{b}) = \begin{pmatrix} 0 & -c & b \\ c & 0 & -a \\ -b & a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -cy+bz\\ cx-az\\ -bx+ay \end{pmatrix}

Et là, on se rend compte que l’on peut réécrire ce calcul comme un produit vectoriel :

\vec{u}(\vec{b}) = \begin{pmatrix} -cy+bz\\ cx-az\\ -bx+ay \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix} \wedge \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}

Le fait que le vecteur résultant apparaissant ici est invariant par changement de base orthonormée directe est assez simple et direct.

Résumons donc ce que nous avons trouvé : soit un champ équiprojectif \vec{\mathcal{M}} dans un espace euclidien de dimension 3 : il existe alors un unique vecteur résultant \vec{R} tel que :

\forall (A,B)   \quad \vec{\mathcal{M}}(B) -\vec{\mathcal{M}}(A) = \vec{R} \wedge \vec{AB}

On a bien prouvé la relation de Varignon pour tous les torseurs définis dans un espace de dimension 3.

Mais on peut remarquer une petite « triche » : quand on passe d’une matrice à un produit vectoriel, il y a toute une notion qui apparaît très importante : celui de l’orientation de la base !

Ainsi apparaît la notion du pseudovecteur (ou vecteur axial) qui est un vecteur dont le sens dépend de l’orientation du trièdre de référence. Comme le vecteur position est toujours un vecteur « vrai » (appelé aussi vecteur polaire), dans un torseur, soit la résultante, soit le moment est un pseudovecteur.

On les reconnaît facilement, c’est ceux que les étudiants ont le plus de mal à comprendre : vecteur vitesse angulaire (résultante du torseur cinématique), moment d’une force (moment du torseur des efforts), moment cinétique et dynamique (moment des torseurs cinétiques et dynamique bien sûr). Et l’on voit par là que le problème que peuvent avoir certains étudiants est peut-être qu’intuitivement, ils ont compris que ce n’était pas tout à fait des vecteurs comme les autres (le signe dépend du sens trigonométrique, forcément choisi arbitrairement, si vous en doutez, regardez vous dans un miroir et faites des moulinets avec les bras).

À noter que ces notions de pseudovecteurs peuvent utilement être réutilisées dans d’autres branches de la physique qui utilise le rotationnel : l’électromagnétisme ou la mécanique des fluides par exemple.

Conclusion

Au départ était la curiosité de répondre à cette question qui traînait dans un coin de ma tête depuis une bonne dizaine d’année : en quoi la relation de Varignon et l’équiprojectivité sont-elles équivalentes.

Au final, j’ai eu le droit à des révisions sur les endomorphismes linéaires et la découverte de nouveaux concepts qui prennent bien plus de sens quand on comprend d’où ils viennent.