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Fonction de transfert d’un système linéaire continu et invariant : pourquoi ?

Dans ce billet, nous allons nous pencher sur le problème de la définition de ce qu’est une fonction de transfert, comment elle apparait naturellement lorsqu’on parle de systèmes linéaires continus invariants et comment elle est accompagnée par le produit de convolution.

Nous n’irons pas dans tous les arcanes mathématiques, mais je vais essayer de ne pas tricher sur le vocabulaire et vous faire sentir les principaux points qui peuvent être problématiques pour un mathématicien.

Comme dans une grande part de la physique, il est toujours bon d’organiser l’espace sur lequel on va travailler.

Espace des fonctions de carré intégrable

Comme on parle de systèmes continus, on va naturellement s’intéresser à des fonctions du temps e(t) et s(t) : l’entrée et la sortie. Ce sont des fonctions de \mathbb{R} dans \mathbb{R}.

Il ne reste plus qu’à trouver un produit scalaire à cet espace ou à un espace y ressemblant.

Le produit scalaire classique somme le produit de toutes les composantes entre elles. Si on s’inspire de cela, on peut considérer qu’une composante est la valeur à un instant donné. On obtient alors relativement facilement cette idée de produit scalaire :

(f,g) = \int_{\mathbb{R}} f(\tau) \, g(\tau) d\tau = \int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) \, g(\tau) d\tau

Premier problème, il faut limiter un peu l’espace pour que le produit scalaire ait un sens : on doit donc se contenter des fonctions de carré intégrable (l’intégrale sur \mathbb{R} converge).

Avec cela de donné, vous devriez facilement prouver qu’il s’agit bien d’une forme bilinéaire symétrique positive. Le problème arrive dès qu’il s’agit de conclure sur le fait que c’est une forme définie. L’ensemble des formes isotropes est en effet l’ensemble des fonctions f_0 tel que :

0 = (f_0,f_0) = \int_{\mathbb{R}} f_0(\tau)^2 d\tau

Et, tout ce qu’on peut conclure alors, c’est que f_0 est nul presque partout sur \mathbb{R} et non pas que f_0 est la fonction nulle (fonction qui a tout antécédent renvoie la valeur 0).

Pour que notre produit scalaire soit défini, il va donc falloir changer un petit peu notre espace : le zéro devra correspondre à l’ensemble des fonction f dont la mesure est nulle (mesure définie avec notre produit scalaire), que l’on appellera classe d’égalité, car elles ont même mesure. Ce choix de vocabulaire est intéressant pour un physicien : les fonctions d’une classe d’égalité ne peuvent pas être distinguées, car la mesure de la différence entre elles est nulle.

C’est ainsi que nous allons pouvoir (presque) travailler dans l’espace des fonctions de carré sommable L^2(\mathbb{R}) défini comme étant l’ensemble des classes d’égalité de fonctions mesurables définies presque partout sur \mathbb{R} et à valeur dans \mathbb{R} telles que leur carré soit Lebesgue-intégrable sur \mathbb{R}.

Cette histoire de Lebesgue-intégrabilité est juste une précision de mathématicien afin de garantir un certain nombre de propriétés sympathiques sur lesquelles nous ne nous pencherons pas ici.

À la recherche d’une base

Le mieux maintenant pour continuer de travailler est de trouver une base : et le problème est important : si on repense à comment à était créé le produit scalaire que l’on utilise, on a utilisé la notion implicite que la valeur en un instant de notre fonction est comme une composante.

Il nous faudrait donc une fonction :

  • nulle presque partout, sauf en un instant t_0,
  • mais de mesure non nulle.

En fait, l’idéal serait une fonction \delta_{t_0} tel que :

\int_{\mathcal{I}} \delta_{t_0}(\tau)^2 d\tau = \left \lbrace \begin{matrix} 0 \quad \text{si} \quad t_0 \notin \mathcal{I} \\ 1 \quad \text{si} \quad t_0 \in \mathcal{I} \end{matrix} \right .

Vous aurez beau vous creuser la tête : il est complètement impossible de fabriquer cette fonction… donc on va la créer et ne pas l’appeler fonction, mais distribution. Je vous présente donc la distribution de Dirac \delta tel que :

\int_{\mathcal{I}} \delta(\tau-t_0) d\tau = \left \lbrace \begin{matrix} 0 \quad \text{si} \quad t_0 \notin \mathcal{I} \\ 1 \quad \text{si} \quad t_0 \in \mathcal{I} \end{matrix} \right .

Il s’agit d’une abstraction très proche de ce qui peut être utilisé en mécanique (masse ponctuelle), en électromagnétisme (charge ponctuelle) ou en probabilité (probabilité d’une valeur donnée contrairement à une densité de probabilité sur un intervalle).

Ici, on parlera assez naturellement d’une impulsion : un signal infiniment court, mais contenant une certaine énergie.

Je pourrais essayer de vous donner toutes les images possibles, mais le fait est qu’il s’agit juste de la base la plus naturelle du monde pour notre espace vectoriel. On aura en effet :

f(t) = (f,\delta_{t}) = \int_{\mathbb{R}} f(\tau) \, \delta(t-\tau) d\tau

Pour chaque instant t, on a donc un vecteur de la base qui permet la projection d’une fonction afin d’obtenir la valeur en ce point.

Vous pouvez relativement facilement vous convaincre qu’il s’agit d’une famille orthonormée, donc libre.

Pour le côté génératrice, il suffit de décomposer une fonction f suivant cette base, et on obtient donc :

f(t) = \int_{\mathbb{R}} (f,\delta_{\tau}) \, \delta_{\tau}(t) d\tau

Que l’on peut réécrire bien sûr comme étant :

f(t) = \int_{\mathbb{R}} f(t) \, \delta(t-\tau) d\tau

Cette expression est donc à la fois la représentation du produit scalaire par un vecteur unitaire de la base (lorsqu’on considère f(t) comme un scalaire), mais aussi la représentation d’un vecteur dans sa base (lorsqu’on considère f(t) comme un vecteur).

Linéarité et invariance : apparition du produit de convolution et de la fonction de transfert

Soit un processus linéaire et invariant noté u qui, à une entrée e(t) associe une sortie s(t).

Si on décompose e(t) dans la base décrite plus haut, on obtient :

e(t) =  \int_{\mathbb{R}} (e,\delta_{\tau}) \, \delta(t-\tau) d\tau

On a, par définition de e(t), s(t) et u(t) :

s(t) = u(e(t)) =  u \left ( \int_{\mathbb{R}} (e,\delta_{\tau}) \, \delta(t-\tau) d\tau \right )

Par linéarité, on a donc :

s(t) = \int_{\mathbb{R}} (e,\delta_{\tau}) \, u \left (\delta(t-\tau) \right ) d\tau 

On a l’invariance aussi à utiliser : elle nous dit que le processus ne varie pas de comportement par décalage temporel, ce qu’on peut écrire :

\text{si} \quad s(t) = u(e(t)) \quad \text{alors} \quad \forall d \in \mathbb{R} \quad s(t+d) = u(e(t+d))

En particulier, si on note h(t) = u(\delta(t)) la réponse du processus à une impulsion, alors on a :

\forall \tau \in \mathbb{R} \quad s(t-\tau) = u(\delta(t-\tau))

Donc, par invariance, on obtient donc :

s(t) = \int_{\mathbb{R}} (e,\delta_{\tau}) \, h(t-\tau) d\tau 

Si on remplace le produit scalaire par sa valeur, on obtient donc :

s(t) = \int_{\mathbb{R}} e(\tau) \, h(t-\tau) d\tau 

Cette opération est appelée produit de convolution, noté comme suite :

s(t) = (e*h) = \int_{\mathbb{R}} e(\tau) \, h(t-\tau) d\tau 

Et h(t), en plus d’être la réponse à une impulsion unitaire du système, cette fonction est également appelée fonction de transfert du processus.

Nous venons de prouver que toute sortie d’un système continu et invariant pouvait donc s’écrire comme le produit de convolution de son entrée et de sa fonction de transfert.

Pour des raisons que je ne détaillerais pas ici, cette relation est aussi valable si e et h n’appartiennent pas à L^2(\mathbb{R}) (ou plutôt la généralisation de L^2(\mathbb{R}) contenant également les distributions).

Transformée de Laplace

La transformée de Laplace permet de passer à l’espace temporel de variable t à l’espace de Laplace L de variable p par la transformation suivante :

F(p) = \mathcal{L} \lbrace f(t) \rbrace = \int_{\mathbb{R}} e^{-pt} \, f(t) dt

Et malgré tout ce qu’on peut penser, la transformation la plus importante est sans doute celle du produit de convolution :

\mathcal{L} \lbrace e*h \rbrace = \int_{\mathbb{R}} e^{-pt} \, \int_{\mathbb{R}} e(\tau) \, h(t-\tau) d\tau dt

Par le théorème de Fubini, on passe alors à :

\mathcal{L} \lbrace e*h \rbrace = \int_{\mathbb{R}}  \int_{\mathbb{R}} e^{-pt} e(\tau) \, h(t-\tau)  dt d\tau

On remplace alors :

e^{-pt} = e^{-pt + p\tau - p\tau} = e^{-p(t - \tau) - p\tau} = e^{-p(t - \tau)} e^{- p\tau}

Cela nous donne donc en réorganisant les termes :

\mathcal{L} \lbrace e*h \rbrace = \int_{\mathbb{R}}  \int_{\mathbb{R}} e^{- p\tau} e(\tau) \, e^{-p(t - \tau)} h(t-\tau)  dt d\tau

On fait le changement de variable $t’ = t – \tau$ et on fait sortir les termes constants (ne dépendant pas de t’) :

\mathcal{L} \lbrace e*h \rbrace = \int_{\mathbb{R}}  e^{- p\tau} e(\tau) \int_{\mathbb{R}} e^{-pt'} h(t')  dt' d\tau

On reconnait alors une première transformée de Laplace :

\mathcal{L} \lbrace e*h \rbrace = \int_{\mathbb{R}}  e^{- p\tau} e(\tau) \mathcal{L} \lbrace h \rbrace d\tau

Or, la transformée de Laplace est une fonction de p indépendant de \tau, on obtient donc :

\mathcal{L} \lbrace e*h \rbrace = \mathcal{L} \lbrace h \rbrace \int_{\mathbb{R}} e^{- p\tau} e(\tau)  d\tau

On reconnait alors une seconde transformée de Laplace :

\mathcal{L} \lbrace e*h \rbrace = \mathcal{L} \lbrace h \rbrace \times \mathcal{L} \lbrace e \rbrace

Ou dans la présentation classique que l’on peut donner aux étudiants. Lorsque l’on a un processus linéaire invariant d’entrée e(t) (de transformation de Laplace E(p)) et de sortie s(t) (de transformation de Laplace S(p)), alors il existe une fonction de transfert H(p) tel que :

S(p) =H(p) E(p)

On est passé de produit de convolution à des produits plus conventionnels ce qui apparait plus pratique sans nul doute.

Mais dans le travail demandé, on ne passe presque jamais par les produits de convolution, mais très souvent par des équations différentielles. Ce sera l’occasion de voir d’où viennent un certain nombre de propriétés de la transformée de Laplace et leur utilisation en rapport notamment avec la causalité.

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